『计算机组成原理』数的表示及计算@[toc]
三、数的表示及计算1.定点数的表示1.原码表示范围：符号位和数据为 i 相对独立
N 位原码表示范围：
二进制形式：[1111….11,01111…111]
整数：$[-(2^{n-1}-1),2^{n-1}-1]$共计：$2^n-1$
小数：$[-(1-2^{-(n-1)}),1-2^{-(n-1)}]$共计：$2^n-1$
因为 0 有两种表示，所以比 N 为能表示的状态少 1 种。
2.补码表示的范围N 位补码表示范围
-4
-2
-1
0
1
2
4
补码
1100
1110
1111
0000
0001
0010
0100
思考：
[1000]补 的真值是谁 ?
是-8，也就是说补码可以表示出比原码多一位的数，而且 0 的表示方法唯一。
考虑 N 为补码的表示形式：
形式
真值 （整数）
真值（小数）
最大正数
011111…1111
$2^{n-1}-1
$1-2^{-(n-1)}$
最大负数
11..11111111
$-2^{n-1}$
$-(1-2^{-(n-1)})-2^{-(n-1)}=-1$
2.定点数运算1.加减运算：补码的加减法基本公式：
[A+B]补=[A]补+[B]补[A-B]补=[A]补+[-B]补优点：直接运算
溢出的判断：双符号位法：两个符号位同时运算，双符号位不同则溢出，上溢和下溢。
2.移位运算逻辑移位： 逻辑左移，逻辑右移移出位移走，补位位补 0
123eg：1010左移：0100右移：0101
循环移位：小循环移位小循环左移，小循环右移移出移入到补位位，同时移入到标记为 C 中在数字最前和最后分别有一个 C 位，储存溢出位
123eg：1010左移：1 0101右移：0101 0
大循环移位：大循环左移，大循环右移移出位移入到 C 位，C 位移入到补位位
123eg：0 1010 左移：1 0100 右移：0101 0
算数移位：（1）保留数值的数学意义，左移相当于乘以 2，右移相当于除以 2（2）存在溢出或精度丧失原码：符号位不动，数值位逻辑左右移补码：带着符号位一起移动移出位移走。补位位：高位补符号位，地位补零。
溢出过半：原码：符号位为 0 或 1，数值位最高位为 1补码：符号位为 0，数值最高位为 1；符号位为 1，数值最高位为 0.
3.浮点数的表示规则：1）组成部分、顺序2）每个组成部分位数3）尾数和阶码表示形式：尾数：定点小数阶码：定点整数
一、IEEE754 标准1.格式：32 位（float）和 64 位（double）2. IEEE 有关阶码的规定（1）用修正过的移码表示修正过的移码可以表示 0 和+-∞；
12float：真值（e）=机器数的值（E）-128double：真值（e）=机器数的值（E）-1024
（2）有关移码$$e=E-2^{n-1}$$
（3）E 位全零或者全 1 的状态都不用
12全0：表示数值0全1：表示+-∞
所以正式的 IEEE754 标准：$$e=E-(2^{n-1}-1)$$
3. IEEE 有关尾数的规定（1）用修正过的原码表示尾数（2）最高数值位必须为 1，并且省略。==这样进一步提高了数据的精度。==（3）什么是规格化的尾数（M）$$|M|>=1/2=(0.1)_2$$
因为尾数最高的数值位为 1，并且省略。E：阶码S：符号位M：尾数float：$(-1)^s1.M2^{E-127}$double:$(-1)^s1.M2^{E-1023}$
4. IEEE 与真值的相互转换eg:Float 类型 413C0000H 的真值是多少:
$413C0000H=(0100 0001 0011 1100 0000 0000 0000 0000)_2$
$S=0；M=0111；E=1000 0010$
$e=(-1)^s1.M2^{E-127}$$=(-1)^01.011112^{130-127}$$=(1011.11)_2$$=11.75$
5. Float 类型的表示范围二、非 IEEE754 标准
1.有机组成部分每部分可以用不同的编码表示，最常见的阶码和尾数都用补码表示。
2. 表示范围（1）为什么要规格化？==为了进一步提高数据精度==（2）规格化的本质是什么？$$|尾数|>=0.5$$
(3)这种本质的体现是什么？尾数分别用原码和补码表示的时候规格化的尾数是什么形式的？原码：数值最高位为 1补码：1.0xxxxx 或者 0.1xxxxx 或者 1.1xxxxx
（4）IEEE754 标准如何做的规划化？==尾数最高的数值位为 1，并且省略。==
设某浮点数阶码和尾数都用 4 位二进制补码表示。
4.浮点数的运算一、IEEE754 标准的加减运算（1）0 操作数检查（2）对阶：小阶向大阶对齐，尾数右移（3）尾数加减：补码双符号位（4）规格化： 左规；右规
12左规：尾数+-不发生溢出，结果不是规格化，左规尾数不定，阶码-1，知道规格化为止；右规：尾数+-发生溢出，带两个符号位右移移位，阶码+1
（5）舍入，阶码采用补码双符号位运算。==0 舍 1 入。==（6）判断溢出在溢出判断中，什么样的情况才算溢出？==阶码溢出才叫溢出==尾数溢出是否标志着结果的溢出？==尾数溢出不表示结果的溢出==